偏好，效用，无差异/等优曲线
预算线
消费者最优选择
价格和收入变化对消费者选择的影响
消费者盈余（ConsumerSurplus)
在第一讲，我们提及理论的作用是为定律做解释——在怎样的逻辑链条或机制下，定律中的条件会发生联结。在此，消费者理论也不例外。消费者理论描述的是消费者如何做出消费选择，以推出需求定律，即商品的价格和需求量呈反向关系。
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偏好
1.1偏好的定义
消费者的选择与个人喜好有关，因此，研究消费者选择，离不开对他们喜好的描述。我们用偏好（preference）来描述消费者对商品的喜好程度。严格来讲，偏好定义在消费束（consumptionbundle）上，描述了消费者对不同消费束的喜好排序。
消费束指的是什么呢？消费束是所有商品的任一数量组合。假设有三种商品：巧克力，冰激凌和奶茶。包含这三种商品的消费束可一般化表述为（x1,x2,x3），其中，x1，x2和x3为非负数，表示三种商品的数量，如，消费束A=(2,1,3)表示商品组合含有3块巧克力，1个冰激凌和3杯奶茶；消费束B=(0,3,1)含有0块巧克力，3个冰激凌和1杯奶茶。
对于A和B这两个消费束，消费者对它们的排序可以划分为三种关系：（i）对A和B的喜好程度相同;（ii）更喜欢某一个消费束（如A），或者说某个消费束带来的满足感更高；（iii）一个消费束（如B）不会比另一个（如A）差，即含义着（i）或者（ii）的成立。对应的经济学语言为，A和B存在三种可能的偏好关系，分别为：（i）无差异/等优，（ii）严格优于/严格偏好，如A严格优于B，和（iii）优于/弱偏好于，如A优于B。需要注意的是无差异指的是喜好程度的无差异，而不是数量的无差异。
无差异和严格优于的关系都可以定义在优于这个关系之上，比如说，A与B无差异代表了A优于B且B优于A；A严格优于B代表了A优于B，但是B并不优于A。偏好关系也可以用偏好符号表述，如，
需要注意的是，偏好是一个主观概念，它基于的是消费者的喜好或满足感。不同人对相同的商品，或者同一商品在不同条件下，偏好是有可能是不同的。前者表现为我们丰富多彩的大千世界，后者如“中河失船，一壶千金，贵贱无常，时使物然”（《遏冠子·学问》）。
为了使消费者能够前后一致地排列所有消费束，我们对偏好关系加上了四个假设条件。因为无差异和严格优于是基于优于这个关系的，所以，严格来讲，假设条件是对优于关系的约束。
假设1：完备性（Completeness），对于任意两个消费束，如上例中的A和B，消费者都可以对它们排序或比较。该假设也可称为可比性。排序或比较包括A优于B，B优于A或者两者同时成立。
假设2：自反性（Reflectivity），任何一个消费束都可以与自身比较，即A优于B。
假设3：传递性（Transitivity），消费者的偏好关系是可以传递的，如A优于B，B优于C，则A优于C。传递性避免了消费束出现转圆圈排序的情况，即A优于B，B优于C，C优于A，以致消费者无法做出一致性的选择。
有的书上将单调性（monotonicity）作为偏好关系的第四个假设。单调性表明如果消费束A中的商品数量都至少要大于消费束B中所对应的商品数量，如A=（3,4,3），B=（3,1,2），则A严格偏好于B。经济学研究的对象是经济物品，经济物品的含义是“有胜于无，多比少好”，所以单调性其实就是经济物品的含义，我们在此并未将其单独列出。
在介绍假设4之前，我们先学习无差异/等优曲线的概念。
1.2无差异曲线/等优曲线
为了方便偏好关系的展示，我们建立了关于两种商品数量的直角坐标系——横轴表示商品1的数量（x1），纵轴表示商品2的数量（x2）。之所以选择两种商品进行分析，一是因为易于表达，如，三种商品需要构建三维图，二是因为两种商品的选择需要涉及代价方面的权衡，而一种商品不用，可以说，二与一有大不同，但二与三或者更多却相差不大——两种商品选择的结论适用于更多商品。
在坐标系中，第一象限（包括坐标轴）中的每一个点都代表了一个可能的消费束，如下图中的A，B，C和D四个点。在这四个点中，A和B，C和D两组各自含有相同数量的商品1，A和C，B和D两组各自含有相同数量的商品2。依据经济物品的条件，我们可以马上推出在四个消费束中，C严格优于所有其它消费束，以及，A，C和D都严格优于B。那么，A和D是什么关系呢？在图中，A和D被画在了一条曲线上，我们称这条曲线为无差异/等优曲线。
无差异或等优曲线是将所有偏好无差异的消费束连接起来所构成的曲线。无差异曲线可以有无数条，在同一条无差异曲线上的消费束都是等优的，因此，A~D。
无差异曲线的四个特征：
特征1：无差异曲线必然向右下方倾斜，即斜率为负。这是经济物品的要求（“多比少好”），因为如果既要增加一种商品的数量，还要保持与原消费束无差异，则另一种商品的数量需要减少，否则新的消费束会严格优于原消费束。无差异曲线只能沿着两种物品一增一减的方向移动。
特征2：在同一坐标平面上，任何两条无差异曲线都不会相交。我们可以用反证法进行证明。如下图所示，假设两条无差异曲线相交，交点为a。首先，在两条无差异曲线上，我们可以找到两个消费束，满足一个消费束中的商品数量都严格大于另一个消费束中的商品数量，如c和b，经济物品表明c严格优于b。其次，c和a，b和a分别在同一条无差异曲线上，这表明，c和a无差异，b和a无差异，基于传递性假设，c和b无差异，但是，此结论与c严格优于b矛盾，因此，任意两条无差异曲线都不会相交。
特征3：在坐标平面上，每个点都有一条无差异曲线通过，换言之，在任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。如果将所有的无差异曲线都画出来，第一象限会被完全填满。
基于以上三个特征，我们可以证明在一条无差异曲线右侧的消费束必然严格优于无差异曲线上的消费束，无差异曲线上的消费束必然严格优于其左侧的消费束。首先，我们可以画一条从原点出发斜率为正的射线，这条射线会通过无数条无差异曲线。在这条射线上，消费束中商品的数量随离原点距离的增加而严格递增，所以离原点越远的消费束会严格优于离原点近的消费束。其次，过射线上的每一点，都可以画出一条无差异曲线且无差异曲线不会相交。又因为无差异曲线上的消费束是等优的，我们可以推出离原点越远的无差异曲线代表着更高的满足感。最后，一条无差异曲线右侧的消费束必然在离原点更远的无差异曲线上，反之，该条无差异曲线左侧的消费束必然在离原点更近的无差异曲线上。
特征4：无差异无限凸向原点。如下图所示，消费束x和y在同一条无差异无线上，凸向原点含义着两者的连线在无差异曲线的右侧。两者的连线代表什么呢？连线代表了两个消费束的线性组合——线性组合中的数量在x,y之间，相当于使两种商品的数量均匀了一些，我们可以称之为具有“多样性”消费束，如消费束z中的商品数量。相应的，x和y可以称之为相对更“单一性”的消费束。基于上面的结论，z严格优于x和y，说明“多样性”的消费束严格优于“单一性”的消费束。这便是凸性背后的含义——消费者喜欢消费“多样性”。满足凸性的无差异曲线也称为性状良好的无差异曲线。同理，如果无差异曲线凹向原点，则说明消费者喜欢消费“单一性”，因为同一条无差异曲线上的两个消费束的连线在曲线的左侧。
从图中可见，凸向原点含义着在同一条无差异曲线上，随着商品1（横轴商品）数量的增加，无差异曲线的切线变的越来越平坦，即，切线斜率的绝对值越来越小。这有什么经济含义呢？切线斜率的绝对值可以理解为增加一单位商品1所愿意放弃的商品2的数量，或者说，为获得商品1所愿意付出的代价。我们将这个代价称为边际替代率（MarginalRateofSubstitution,MRS），描述了商品在消费者心中的替换关系。
边际替代率（MarginalRateofSubstitution,MRS）：在同一条无差异曲线上，增加一单位商品（如商品1）所愿意放弃的另一种商品（如商品2）的数量称为两种商品（商品1对商品2）的边际替代率。（边际替代率也可以理解为，在同一条无差异曲线上，减少一单位商品所愿意获得另一种商品的补偿，但通常，我们都从增加的角度去看，下面所说边际替代率递减也是如此）
越来越平坦的切线说明消费者为获得商品1所愿意付出的代价会随着商品1数量的增加而降低，即边际替代率递减。如下图所示，无差异曲线凸向原点等价于边际替代率递减。消费者喜欢“多样性”含义着当某种商品不断增加时，消费者愿意为其增加付出的代价会不断降低。代价降低也可以理解为这种商品在消费者眼中重要性的下降。
在上述的4个特征中，特征1-3都可以由经济物品和偏好的完备性和传递性推出，特征4是对偏好新增的约束，也即偏好的假设4。
假设4：消费者喜欢“多样性”，表现为无差异曲线凸向原点，或者边际替代率递减。从数学上看，这个假设条件也称为“凸性”，假设我们将优于消费束X的集合称为WP(X)，表现为无差异曲线和曲线右侧所有点的集合，这个集合中任意两点的连线都仍在集合之内，所以WP(X)为凸集。因此，凸性是定义在WP(X)这个集合之上的。WP(X)的凸性含义着无差异曲线凸向原点。
无差异曲线是偏好的几何表述，可以很直观的表示不同消费束之间的偏好关系。但是如果有很多消费束，我们在坐标系中画出的密密麻麻的无差异曲线并不能很方便的展示出偏好关系。不过既然可以画出无差异曲线，那么，是不是可以用函数形式进行表达呢？将偏好关系转化为一个函数不就方便分析了吗？转化需要涉及对消费束的赋值，即效用的概念。
1.3效用
效用：“武断地以数字排列选择的随意定名，用以解释人的选择行为”。怎么理解这个概念呢？依据偏好，我们可以对每个消费束赋予一个数值，满足：数值相同代表喜好程度相同，即消费束无差异，或在同一条无差异曲线上；数值越大代表满足度越高，即数值高的消费束严格优于数值低的消费束。如是，偏好关系转化为了数字排序。我们再给这些数值起一个名字，就叫作效用。
效用这个词源自边沁（JeremyBentham,-，英国哲学家），他提出了“功利/功用主义”（Utilitarianism)的哲学思想（功利主义即是效用主义）。边沁认为人们选择的动机都可以归结为追求愉悦（pleasure）和避免痛苦（pain），因此，他将选择的目标简化为最大化人们的愉悦（pleasure），并称之为效用原则。但在效用原则中，边沁并未对愉悦的质量进行区分，例如，攻克数学难题和放纵享乐都会带来愉悦感，但两者显然不是在一个层次上的，以及未考虑一个人行为的动机与手段，仅考虑一个行为的结果对最大快乐值的影响——能增加最大快乐值的即认为是善；反之即为恶。为了评估愉悦，边沁给出了量化衡量愉悦的标准。但是，愉悦是心理，是主观的，本质上其实是无法被度量的——“直接地或从本身来衡量欲望，或是由欲望的实现而产生的满足，即使不是不可想象的，也是不可能的，我们对这一点不能过于坚持”（马歇尔《经济学原理》）。
虽然在效用引入经济学之初仍有度量心理的含义，但是现在效用仅仅是对偏好的一个武断定名，与心理的度量已毫无关系，如果不叫效用，改为任何其它名字也不会影响我们的分析。如史托斯（R.H.Strotz)所言：“很明显，我们无须判断效用的量度是以金钱，或以散漫的时日，或以八度和音，或以英寸来支持，而我们更无须认为效用的量度是一个心理上的单位。”
对于同一偏好，在逻辑上，我们可以用不同的效用体系（赋予不同的效用值）去表述，只要不影响消费束的排序即可。反之，如果在不同的效用体系下，所有消费束的偏好关系都一样，则说明这些的效用体系代表了同一个偏好。如，消费束A，B和C赋予了不同的效用值，虽然每个消费束的效用不同，但是都代表A严格优于B，B严格优于C，因此都属于同一偏好。
赋值1：A，B，C的效用分别为20，10，5
赋值2：A，B，C的效用分别为40，20，10
赋值3：A，B，C的效用分别为28，14，7
这也说明效用有意义的是数值之间的相对大小关系，而非数值的绝对量和它们之间的差异。喜好可以排序但无法度量，我们不能说两个效用为5的消费束所带来的满足感与效用为10的消费束是等价的，或者效用为10的消费束与效用为2的消费束的满足感之差恰等于效用为8的消费束（我们可以自己设定不同的消费束去进行思考）。因此，效用是序数的，而非基数——赋予效用的数值只能排序（排序），不能进行加减乘除四则运算（基数）。（主观题的得分是序数的，我们无法说6分的回答与4分回答的差距是2分的回答；长度是基数的，因为3米加上2等于5米，3米的2倍是6米等等。）
给每个消费束赋予一个效用值，可以理解为为从消费束到效用值的一个映射，这说明，两者的关系可以由一个连续函数关系来描述，如U=f(x1,x2,…,xn)，xi表示商品i的数量，U为效用值，例如U=ax1*x2，这个函数便称为效用函数。效用函数是偏好关系的代数表述。效用的序数性表明对效用函数做单调递增变化仍表示同一偏好，因为单调递增变化不会影响消费束的排序。简言之，偏好可以由不同的效用体系赋值，可以对应不同的效用函数，只要它们所对应的消费束排序一致即可。
偏好的假设4反映在效用函数中，即为边际效用递减规律，或者说，边际效用递减规律反映了消费者喜欢“多样性”的偏好特征。在学习这个概念前，我们先需要明确边际量与总量和平均量之间的关系。边际量是相对于总量而言的，是指作为平均量计算基准的数量变动一单位，对总量的影响。比如，我们将总量定义为工人的总产出，平均量为人均产出，所以平均量的计算基准是工人的数量，因此，边际产出是指当工人的数量变动一单位，总产出是如何变化的。变动一单位可以是增加，也可以减少，通常，我们会从增加这个方向上看。很显然，如果边际量为正，总量会增加，反之，总量会减少；如果边际量大于平均量，增加这变化的一单位后，新的平均量会上升，反之，新的平均量会减少。回到边际效用这个概念上，效用的平均量的计算基准是商品数量，因此边际效用是指当某一种商品的数量变化一单位时，所引起的效用的变化。
边际效用递减规律：每增加一单位商品所带来的总效用的增加是逐渐下降的。从代数上看，当商品的数量变化趋于无穷小时，边际效用可以表示为效用函数对商品数量的偏导，即?f(x1,x2)/?x1。MU代表边际效用，是MarginalUtility的首字母。边际效用递减含义着当商品1的数量增加时，MU1是下降的，即?MU1/?x10，效用函数对商品1的二阶导为负值。同理，效用函数对商品2的一阶偏导为商品2的边际效用，二阶导为负值，代表边际效用递减。（这里有一个假设是效用函数连续可导）
在效用不变的前提下，我们可以推出边际效用与边际替代率之间的关系。首先，写出边际替代率（MRS）的代数表达。在消费束x*处，商品1对商品2的边际替代率为，
因为边际替代率被定义为正值，所以上式中要加上负号（在同一条无差异曲线上，消费束中两商品的数量反向变化）。并且当商品1的变化趋向于0时，MRS1,2为无差异曲线在x*处切线的斜率的绝对值（前提条件：商品1的数量在横轴）。这便是为什么我们之前说可以将无差异曲线切线的斜率理解为边际替代率。
其次，对效用函数做全微分（效用不变，即dU=0），我们可以得出商品1对商品2的边际替代率等于两商品的边际效用之比。
边际效用递减规律表明，若商品1的数量持续增加，MU1递减，同时，因为效用不变，所以商品2的数量会递减，使MU2递增，两者共同导致MRS1,2递减。因此，边际效用递减含义着边际替代率递减。由效用函数画出的无差异曲线——将效用值相等的消费束相连——将凸向原点。
那为什么边际效用递减规律反映了消费者喜欢“多样性”的偏好特征呢？假设我们口很渴，第一杯水喝下去会感觉非常舒服，喝第二杯觉得还行，第三杯估计就没什么感觉了，第四杯可能会觉得不再需要了。再如，我们刚接触一件事物时，可能会因为新鲜感而觉得很有意思，但是随着接触的频率增加，新鲜感会逐渐下降，从每次接触中得到的满足感也会相应降低。这表明当消费者不断地增加一种商品的数量时，他们满足感的增幅是会随之下降的，换言之，在消费者眼中，商品的重要性会随商品数量的增加而降低。商品的重要性表现为消费者为了获得该商品所愿意付出的代价（边际替代率），重要性降低，所愿意付出的代价也会相应降低。这正是消费者喜欢“多样性”的表现。
因此，从本质上看，边际效用递减，边际替代率递减，和无差异曲线凸向原点是一回事儿，都源于消费者喜欢“多样性”。
需要注意的是，我们说边际效用递减规律，或边际替代率递减都是以偏好不变为前提的，这一点应牢记于心。“在这一规律（边际效用递减规律）中有一个暗含的条件，应当加以说明。就是，我们假定，不容许这期间有时间使消费者自己在性格上和爱好上发生任何变化。所以，这规律没有这些例外。一个人越多听优美的音乐，他对音乐的爱好就越强烈。贪婪和野心往往是不会满足的；或者，高尚的美德和酗酒的恶习同样愈演愈烈。这是因为我们的观察基于若干时期，而且被观察的人在这个时期的开始与结束，具有不同的性格或爱好。我们如果当一个人就是像他现在这样，而不容许有时间让他的性格发生任何变化，那么，一物对他的边际效用，就会随着这件东西的供给的每一次增加而不断递减”（马歇尔《经济学原理》）。
总结：
为了研究消费者的选择，我们引入了偏好的概念。偏好是消费者依据其喜好对所有消费束（商品的数量组合）的排序。我们用无差异/等优，严格优于和优于表示两个消费束之间可能的三种偏好关系，前两种偏好关系可以定义在优于这个关系之上。为了保证消费者的选择具有一致性，优于这个偏好关系应满足4个假设条件：完备性，自反性，传递性和凸性。凸性的经济含义为消费者喜欢“多样性”。经济物品含义着消费束中商品数量的增加会带来满足感的提高（也称为单调性假设）。
我们可以用效用函数或无差异/等优曲线表示偏好。对消费束按偏好赋值称为效用，效用值的高低代表消费者偏好程度的高低。描述消费束和效用值关系的函数称为效用函数，满足边际效用递减规律，边际效用递减含义着边际替代率递减——两种商品的边际效用之比等于两者的替代率。由效用函数，我们可以画出凸向原点的无差异曲线。同理，由凸向原点的无差异曲线我们也可以赋值构建边际效用递减的效用函数。边际效用递减，边际替代率递减和无差异曲线凸向原点都是源于凸性假设的约束。
效用是序数的，对效用函数的单调递增变化仍表示同一偏好。
1.4两种特殊形状的无差异曲线：完全替代品和互补品
1.4.1完全替代品
如果在消费者眼中，a个商品1永远相当于b个商品2，即在消费束中，增加a个商品1和减少b个商品2不会带来效用的变化，那么，我们称这两个商品为完全替代品。这个定义表明，商品1对商品2的边际替代率（MRS1,2）恒为b/a——若效用不变，增加1单位商品1，愿意放弃b/a单位的商品2。MRS1,2为无差异曲线切线斜率的绝对值（商品1在横轴），斜率为定值表明无差异曲线应为一条直线，满足纵截距比横截距等于b/a，如下图所示（a:b=1:1）。在一定比率下，完全替代的两种商品在消费者眼中是一回事儿，所以商品的多样性和单一性没有差异。
完全替代品的效用函数是什么样子呢？假设效用函数为U=f(x1,x2)，由效用函数，我们可以推出无差异曲线的表达式，给定U=U1，x2=g(x1,U1)。线性的无差异曲线表明x1和x2为线性关系，则在f函数中x1和x2也应为线性关系。不失一般性的，假设U=αx1+βx2，由（a,0）和（0,b）这两个消费束无差异可以推出αa=βb说明α/β=b/a，因为效用的序数性，可以直接令α=b,β=a，相应的效用函数为U=bx1+ax2。对这个效用函数做单调递增变换仍表示同一偏好，如U=c(bx1+ax2)+k，c,k为常数且大于0，或为原效用函数的立方。
1.4.2完全互补品
如果a个商品1必须搭配b个商品2共同使用，单方面增加某种商品的数量不会带来效用的变化，那么，我们称这两种商品为完全互补品。完全互补品对应的无差异曲线为向右侧开口的L型。如下图所示，一个眼镜架要搭配2个眼镜片，无差异曲线的垂直和水平部分表示单方面增加镜片或镜架数量，都不会带来效用的改变，只有两种商品按比例增加时，如2个镜架搭配4个镜片，效用才会增加。
完全互补品的效用函数可以由min函数表示，不失一般性的，假设U=min{αx1，βx2}，αx1=βx2表示两种商品恰好满足搭配关系，单独增加x1或x2都不会对效用值产生影响。由a种商品1搭配b种商品2，可以推出，α/β=b/a，直接令α=b,β=a，相应的效用函数为U=min{bx1,ax2}，对这个效用函数做单调递增变换仍表示同一偏好。
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