物理理论经常会被跨领域借鉴使用。近几年气象学家在研究海洋和大气波动规律时，将地球类比为拓扑绝缘体，从而借助物理学家研究拓扑相变的方法和结论，深刻理解了赤道开尔文波的形成机制。开尔文波是一种因地球自转偏向力（即科里奥利力）而形成的海洋和大气波动。其最大的特点就是群速度与相速度相同，所以这种波不会在行走的过程中耗散，能够跨越数千公里持续搬运能量，是形成厄尔尼诺等气候现象的重要因素之一。其实这种波早在年就已被发现，并以发现者命名。没错，发现者正是那位科学全才——开尔文勋爵，绝对温标也是以他名字命名的。相信老勋爵一定不会想到，多年后他所发现的海洋和大气波动，竟然以如此奇特的方式与现代物理学产生联系。即使老勋爵乘坐时光机来到当下，估计也不能快速理解为什么开尔文波竟然是一种拓扑保护下的激发。微分几何进入物理学年横空降世的广义相对论，是物理学几何化的第一个里程碑，微分几何从此成为物理学家必须掌握的一门数学语言。既然引力的本质是时空弯曲，引力场强是时空曲率，那么摆弄弯曲流形的学问，自然成了学习广义相对论的首要预备知识。所谓流形（manifold），可以认为就是各种各样的图形。比如土豆的表面是2维流形，而广义相对论所研究的时空则是4维流形。为了能够计算，必须得在流形上建立坐标系。如果流形本身形状比较奇怪，或者坐标系覆盖能力有限，仅用一个坐标系无法覆盖流形上所有的点，那么就需要在流形上选取多个点，每个点都可以建立局部坐标系覆盖周边邻居，再把所有局部坐标系拼贴起来以覆盖整个流形。比如，以地球某时刻为原点的4维笛卡尔坐标系，就无法覆盖到远处黑洞的内部，即使经历无穷长时间也只能到达很靠近黑洞视界的地方。然而这并不意味着时空本身在视界处被撕裂。靠近黑洞视界的宇航员可以以他自己的位置和某时刻为原点建立新的坐标系，这个坐标系既与我们的坐标系有交叠，又同时与黑洞内的其他坐标系有重合。借助多个坐标系共同承托，就可以画出一条光滑的世界线，连接地球和黑洞内部，从而看出视界处时空本身仍然完好无损。另外，要想讨论曲率，得先让流形固定不动，蠕动着的水母表面显然不会有确定的曲率。而定型的含义等价于“流形上任意两点之间存在确定的距离”，于是流形上关于距离的定义必然要先于曲率的定义。我们知道在最简单的x-y平面上，距离的定义是。类似的，可以猜测弯曲平面上的局部坐标系里，哪怕坐标轴不正交，反正总可以把距离写成形如的样子，这个α、β、γ组合，就叫作“度规”（metric），它回答了流形上每点与临近的点之间该如何计算距离的问题。如果流形上每一点都有了自己的度规，那么整个流形也就被“石化”了，此时才可以计算曲率。数学上对曲率的定义有若干种，物理学家最喜欢使用黎曼的定义方式。黎曼曲率可以用向量在移动过程中的变化来体会，所以在了解它之前，我们还需要先了解流形的弯曲会对向量的移动造成什么影响。平直空间中向量可以随便平移都不会发生改变，可是在弯曲空间中这种自由就不存在了。例如在上图所示的球面上移动向量，同样从赤道上出发开始“平动”（注意2维球面内的向量方向只能切于球面），经过橙色路径后到达北极的指向与经过蓝色路径到达北极的指向并不相同，这就是由球面的弯曲造成的效果。黎曼曲率就是利用这种效果来定义流形上每点的曲率。具体做法是让初始向量ν从自家位置P点出发，沿着闭合环路在家附近溜达一圈再回家，旅行之后的向量就会与出发前的向量有所差别。我们用向量Δν=ν-ν代表这个变化量。构成闭合旅行线路最少还需要两个独立向量ν和ν，只要这个闭合路线足够小，我们可以马马虎虎地把ν也看作P点处的向量ν=ν-ν。这样ν、-ν和ν-ν就构成一个闭合的旅行路线。总之，在P点处只要给出三个向量ν、ν和ν就对应一个确定的Δν。这显然是一个映射，从三个向量到一个向量的映射。提供这种映射功能的“机器”叫作张量（tensor），黎曼曲率就是张量，所以也被称为黎曼张量。顺便提一下，前面说到的度规也是张量。纤维丛与规范场年闪亮登场的杨-米尔斯理论，为后续物理学几何化的第二次浪潮埋下了伏笔。十几年之后，物理学家突然发现纤维丛正是描述这一理论最恰当的语言。所谓纤维丛（Fiberbundle），可以简单粗暴地理解为浑身长毛的流形，每根毛对应底流形上一点。这里的毛，也就是纤维，具有颇为抽象的内涵，在不同的纤维丛理论中代表流形身上不同的附加物。这些附加物既可以是天生的，也可以是后天装饰上去的。最直观的一种纤维，就是流形上每一点的切空间（tangentspace），顾名思义是此点处所有向量生活的空间。下图左侧画出的是个具体例子，其中底流形M是2维球面，蓝色平面是M上P点的切空间，记作T(M)；橙色平面是Q点的切空间，记作T(M)。右侧是对这种关系的抽象画法。前面在介绍曲率的时候曾经含混地提到向量在流形上的“平动”，其实那种说法非常不严谨。P点的向量无论怎么变，都始终是T(M)的元素，没办法跑到T(M)里，所以讨论向量在流形上的移动之前，要先规定T(M)与T(M)之间的关系。这种纤维与纤维之间的关系叫作联络（connection），切空间之间的联络就约定了流形上怎样的向量移动算是平动，在约定之后才能计算曲率。切丛的概念直观易懂，但还不是物理学家的强大武器，真正使物理学家爱不释手的，是一种能够包含对称性的纤维丛。因为它过于核心重要，所以干脆被命名为主丛（principalbundle）。谈论对称性时，我们需要注意区分全局对称性（globalsymmetry）和局域对称性（localsymmetry）这两个完全不同的概念。前者是整个流形总体所拥有的对称性，而后者则是每个点各自具备的属性。后面的内容会展示出，局域对称性在物理中的重要地位要远大于全局对称性。描述对称性的数学语言是群，每一种对称性都对应特定的群。例如O(n)群和SO(n)群对应着n维实数空间中的旋转对称，而U(n)群和SU(n)群则代表n维复数空间中的旋转对称。我们所身处的3维空间中，任何转动操作都可以拆解为绕x、y、z轴转动这三种基本操作的某种组合。也就是说，如果把SO(3)群自己也看作一个空间的话，维数恰好也是3维。可是SO(4)群却不同，4维空间中的转动由6种基本操作组合而成，所以SO(4)群本身的维数是6不是4。群本身也可以被看作一个空间，就像那个直观的切空间一样，所以也就能当作纤维插在底流形上，只不过每根纤维所代表的空间与底流形可能具有不同的维度数量。这种插着群结构的纤维丛就是主丛。纤维所代表的局域对称性意味着，底流形上的函数Φ(x)，沿着纤维变动时，每个点上Φ(x)的值保持不变，所以主丛上的不同截面对Φ(x)来说是等价的。在物理上，像Φ(x)这样具有局域对称性的场统称为规范场（gaugefield）。在物理学家眼中，时空本身就是一个纤维丛，各种基本相互作用就源自各种规范场，也就是携带不同对称群的主丛的联络。引力场对应SO(3,1)，电磁场和弱力对应U(1)×SU(2)，强力对应SU(3)。后面两者合并起来，携带U(1)×SU(2)×SU(3)结构的主丛整体是一个大空间，在这个空间里，宇宙中除引力之外的其他相互作用都漂亮地合并为一个对象。这就是堪与广义相对论比肩的杨-米尔斯理论，是基本粒子标准模型最重要的理论基石。来自拓扑理论的加持拓扑学常被戏称为玩弄橡皮泥的科学，它并不关心几何图形具体的形状或大小，而只
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