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张奠宙返朴
撰文
张奠宙（数学史家、华东师范大学数学科学学院教授）
杨振宁是20世纪伟大的理论物理学家之一，年以发现宇称不守恒与李政道共获诺贝尔物理学奖。但是，对数学家来说，杨振宁却以杨–米尔斯(Yang-Mills)理论和杨–巴克斯特(Yang-Baxter)方程而著称。可以说，杨振宁是继爱因斯坦和狄拉克之后，对数学的发展有最大影响的20世纪物理学家。年，我访问了杨振宁教授。本文根据该访问及杨振宁教授已出版的论著写成。
杨振宁和陈省身的早期交往
年，杨振宁出生于中国东部的一个中等城市——合肥。他的父亲杨克纯(YangKo-Chuen，又名杨武之)是北平清华大学教授，其后任复旦大学教授。杨武之于年在狄克逊(L.E.Dickson)指导下，以数论研究获芝加哥大学博士学位。他是把现代数学引入中国的先驱之一，教导过许多优秀的学生，其中有两位最著名:华罗庚和陈省身。
张：您第一次见到陈省身教授是在什么时候?
杨：-年，陈教授在北平清华大学做研究生时，我父亲是清华数学系教授，但我不记得那时我们是否见过面。然而我却清楚记得首次见到陈夫人时的情景。那是在年10月初，她的父亲郑桐荪教授已在清华做了好几年教授，杨家则刚搬到清华。那时我只有7岁，在上小学。郑教授一家邀请我们到他家里吃饭。于是我第一次见到了“郑姊姊”。郑杨两家的关系一直十分密切。年，我父亲和母亲更撮合了陈教授与郑士宁女士的婚事，并且因此成为他们在昆明结婚时的介绍人。
张：-年间，您是清华大学物理系的学生，陈省身先生是否教过您?
杨：年陈教授学成回国。当时由于抗日战争，清华大学与北京大学、南开大学在昆明合并组成战时的国立西南联合大学，即西南联大。陈先生在西南联大教了六年书：—。他是一位极出色和受欢迎的教授。我则先在西南联大读本科，然后念研究生。西南联大的岁月在我脑海中留下了美好的回忆，当时所受的优良教育也令我终生感激。
在西南联大，我很可能旁听过陈省身的好几门数学课，但是根据保存至今的成绩单，我只是在年秋季学期正式选修过他讲授的微分几何课程。当时我是物理系的三年级学生。
张：这门课您有所得益吧?
杨：当然。不过我已经记不清楚上课的情形了，只有一件事印象很深：如何证明每一个二维曲面保角等价于平面?我知道如何把度量张量化成
的形式，但是想了很久都想不出怎样使A=B。有一天，陈先生告诉我要用复变量，并写下：
这个式子。学到这简单的妙诀，是我毕生难忘的经历。
张：您何时到达美国?
杨：年11月。到美国后，我想追随费米或维格纳学物理。但我在哥伦比亚大学找不到费米，因为他在年前已离去。于是我去普林斯顿大学找维格纳，却发现他下一年度休假，令我大为失望。幸好我听说费米将回到芝加哥一个新成立的研究所去，这就是我去芝加哥大学读博士学位的缘由。
张：陈省身先生有一段很长的时间在芝加哥大学当教授。
杨：是的，但这是我年离开芝加哥后的事。陈先生在年初到美国后，我们经常在普林斯顿、芝加哥和伯克利见面。
张：那时你们讨论过纤维丛吗?
杨：70年代之前从未谈起过。我们早期的接触是非学术性的。我们谈论过很多数学家，却未讨论过数学。
年杨振宁和米尔斯的论文
在昆明和芝加哥做研究生时，杨振宁已经对规范不变性决定一切电磁相互作用的事实有深刻的印象。这课题能为人所知晓，是自外尔、福克、伦敦在—年间所做的工作，以及后来泡利的综述文章开始的。但到了40年代和50年代初，这一课题在物理学中仍然只占有一个微不足道的纯技术性的位置。在芝加哥，杨振宁试图把规范不变性推广到非交换群的情形(电磁场的规范群是交换群U(1))。类似于麦克斯韦方程，他尝试把场强定义为：
(1)
这似乎是麦克斯韦电磁场方程的自然推广，但是“结果出现麻烦，不得不放弃”[1，p.19]。
年杨振宁到纽约长岛的布鲁克海文国家实验室访问研究时，再次回到推广规范不变性的想法上来。来自哥伦比亚大学获得博士学位的米尔斯来到该实验室做博士后，和杨振宁在同一办公室工作。杨振宁将非交换规范场的想法介绍给米尔斯，他们决定在(1)式的右边添加一个二次项
结果把一切“麻烦”都消除了，并引出一种很漂亮的新场论。年夏，他们向《物理评论》提交了一篇论文，此论文在当年10月发表，标题是“同位旋守恒和规范不变性”[2]。关于这段时期，米尔斯后来写道[4，p.]：
我当时接受了一个博士后的工作，也在布鲁克海文，并与杨振宁在同一个办公室工作。(当时我正在纽约的哥伦比亚大学的克罗尔指导下慢慢地撰写对于四阶兰姆位移可能有的贡献进行研究的毕业论文。)杨振宁当时已在许多场合中表现出了他对刚开始物理学家生涯的青年人的慷慨，他告诉我关于推广规范不变性的思想，而且我们较为详细地做了讨论。我当时已有了有关量子电动力学的一些基础，所以在讨论中能有所贡献(特别是关于量子化的过程)，而且在计算它的表述形式方面也有小小的贡献，但是一些关键性的思想都是属于杨振宁的。
张：我看过有报道说，米尔斯当时在英国[4.p.]：“年，杨振宁在美国，米尔斯在英国，他们构造了一种涉及非交换群的麦克斯韦方程的非线性推广。”
杨：那是不正确的。年米尔斯确实是在美国。后来他曾多次访问英国，但绝不是年。
张：梅耶(M.E.Mayer)在年出版的一本书里，曾这样写道：
读了Yang和Mills的论文，就可以看出他们一定明白了规范势的几何意义，因为他们使用了规范协变的微分与联络的曲率形式。此外，该文的基本方程将与从更为几何的考虑而导出的方程相符······[5，p.2]
梅耶认为你们已经清晰地理解了微分几何，是这样的吗?
杨：不，不是这样的。米尔斯和我在年所做的事，只是想推广麦克斯韦方程。我们并不清楚麦克斯韦方程的几何意义，也没有朝那个方向去想。对物理学来说，规范势根植于我们对电磁场的描述，而联络是一种几何概念，我是在年前后才了解的。麦克斯韦方程原来具有很深的几何意义，是物理学家意想不到的新发现。
张：一个有趣的问题是，你在年是否理解这篇关于非交换规范场论的原创论文的巨大重要性?
杨：喔，恐怕不会。在20世纪50年代，我们只觉得这篇文章很重要；到了60年代，才觉察到它的重要性；及至70年代，才晓得它对物理学是极为重要的。只是到了年以后，我才清楚认识到它跟数学的关系。
张：众所周知，外尔是规范理论的创始人，为什么你们在年的论文中没有提到他?
杨：在20世纪40至50年代，物理学家虽然知道外尔曾经导出交换的规范不变概念，但大多只引用泡利的评论文章[6，7]。事实上，我那时并没有看过外尔的任何论文。
张：你在普林斯顿见过外尔吗?
杨：当然见过，年，我在苏黎世纪念外尔百年诞辰的演讲中曾提到这件事：
当我在年成为普林斯顿高等研究所的一名年轻成员时，曾见过外尔。之后的几年(-)内，我时常看到他。他很容易亲近，但我不记得曾和他讨论过物理学或数学问题。在物理学家中，没有人知道他对规范场思想的兴趣是锲而不舍的。无论是奥本海默还是泡利，都从未提及这一点。我猜测他们也没有把我和米尔斯年发表的论文告诉他。如果他们告诉了他，或者他偶然发现了我们的文章，那么我能想象得到，他一定会非常高兴，而且会非常激动。因为我把他所最珍爱的两样东西——规范场和李群——放在一起了。[8，pp.19–20]。
张：我从你的这篇有关外尔的漂亮文章中，知道外尔创立了中微子的二分量理论。
杨：是的。外尔在年所写的论文中提出了这一理论，但指出它违背了左右对称性，因此不能与现实有关。大约三十年以后，在-年间，当发现左右对称性并不严格地被遵守的时候，外尔的理论复活了。时至今日，这仍然是有关中微子的正确理论。顺便说一句，在外尔去世两年以后，我和太太买了外尔在普林斯顿的房子，并在那里住了九年之久：—。
张：当外尔知道他的中微子理论获得证实时，有怎样的反应?
杨：在年物理学界发生巨大轰动的两年之前，外尔不幸去世了。年初，发现左右对称不被严格遵守(即宇称不守恒)后，外尔的理论复活了。它与μ-衰变的实验极漂亮地吻合。但此后的六个月，物理学界又陷入关于β-衰变的困惑，这一问题与外尔的中微子究竟是右旋还是左旋有关。到这年的秋天，出现了关于β-衰变结构的V-A建议。到了12月，一个精巧的实验将一切问题都澄清了，其中包括外尔中微子是左旋的结论。
张：外尔比杨振宁年长37岁，他们属于不同的学术时代，来自不同的国家，从事不同的学科。我们是否可以说外尔是非常欣赏物理的数学家，而杨振宁则是非常欣赏数学的物理学家?
Yang-Mills理论与几何学
在杨振宁和米尔斯的原始论文发表以后，涉及规范理论的量子化和重整化、寻求Yang-Mills方程的精确解的论文大量涌现，但只有少数人注意到规范场论的几何与拓扑意义，其中包括S.Mandel-stam()，E.Lubkin()和H.G.Loos()。此外，R.Hermann为物理学家写了一系列数学读物，其中一部分也涉及规范场和几何的关系，不过这些工作似乎都没有产生很大的影响。于是我向杨振宁先生询问他了解规范场论与几何学之间的关系的个人体验。
张：年以后，您曾继续研究规范理论吗?
杨：是的，我一直在研究。在20世纪50年代和60年代，虽然物理学中还没有实际地使用非交换规范场论，但是随着时间的推移，越来越多的人欣赏到它的优美特性。例如在年，D.Ivanienko出版了一册辑录了12篇译成俄文的关于规范场论的论文集，这些论文的作者包括Yang-Mills，Lee-Yang，J.J.Sakurai，M.Gell-Mann等。我自己在整个20世纪50年代都在规范场论的各个方面做工作，虽然没有获得多少有用的结果。
到了20世纪60年代末期，我开始用不可积相因子的方法重新建立规范场论。有一个学期，我正在讲授广义相对论，突然注意到规范场论中的公式
（2）
与黎曼几何中的曲率公式
（3）
不仅十分相似，而且如果把二者的符号正确地等同起来，这两个公式乃是完全一样的。当我理解到这一点时，我内心的震撼是难以形容的。
张：这是你第一次觉察到规范场论与微分几何之间有密切联系吗?
杨：我早先曾注意到Levi-Civita的平行移动和规范场论中的不可积相因子之间的相似性，但我真正领略到二者之间的精确联系，是在我认识到公式(1)与(2)完全一样的那一瞬间。
怀着想弄清楚规范理论的几何意义的想法，我向一位杰出的几何学家赛蒙斯(J.Simons)请教，他当时是纽约州立大学石溪分校的数学系主任。赛蒙斯告诉我，规范理论一定与纤维丛上的联络有关。这之后，我试图从阅读斯廷罗德(N.E.Steenrod)的《纤维丛的拓扑学》这类书去了解纤维丛理论，结果却一无所获。对物理学家而言，现代数学的语言实在太乏味、太抽象了。
张：我想，只有数学家才会欣赏今天的数学语言。
杨：我告诉你一个有关的故事。大约在十年前，我在韩国汉城做演讲，开个即兴玩笑说：“现今只有两类现代数学著作：一类是你看完第一页就不想看下去了，另一类是你看完第一句话就不想看下去了。”后来《数学情报员》杂志还把我这个玩笑刊登出来。但是我猜想，很多数学家都会同意我的看法。
张：你在什么时候弄懂了纤维丛理论?
杨：年初，我邀请赛蒙斯教授给我们做一系列有关微分形式和纤维丛理论的午餐演讲，他欣然接受了这一邀请。于是我们学到了deRham定理、微分形式、拼接(patching)等。这些演讲非常有用，使我们理解了物理学中Aharonov-Bohm实验和狄拉克磁单极的量子化条件的数学含义。曹宏生和我后来还弄懂了美妙的Chern-Weil定理。回顾起来，正是这些演讲，使我理解了过去理解得不甚清楚的流形的概念。
Yang-Singer-Atiyah
张：赛蒙斯的演讲促使杨振宁和吴大峻写了一篇著名的论文：《不可积相因子的概念与规范场的整体表述》[9]。在这篇论文里，他们分析了电磁场的内蕴含义，特别强调了它的整体拓扑性质。他们讨论了Aharonov-Bohm实验和狄拉克磁单极的量子化条件的数学意义。他们还展示了如下的一个字典(后来被称为“吴–杨字典”)：
?是广义下的电荷和电流。半年后，即年夏天，麻省理工学院的数学家辛格(I.M.Singer)教授来纽约州立大学石溪分校访问，并和杨教授做了详细的讨论。Singer在大学里原本是学物理的，20世纪40年代转入数学系做研究生。他在年这样写道：
三十年后，我发现自己在牛津大学讲规范场理论，从吴大峻和杨振宁的字典讲起，最终得到了瞬子，即杨–米尔斯方程的自对偶解。做了三十年的数学，我似乎又回到了物理学[10，p.]。
为了阐述过去十年的发展，Singer在这篇文章里引用了吴–杨的字典。
年四五月间，一份由Atiyah，Hitchin，Singer[11]合著的预印本被广泛传阅。在这篇文章里，Atiyah-Singer的指标定理被应用到自对偶规范场上去，由此而引发了许多数学家对规范场的兴趣。
年，Atiyah出版了一个专题研究报告，题目是“杨–米尔斯场论的几何学”[12]。他的《论文选集》第五卷以“规范场理论”为标题。在杨振宁石溪的办公室的书架上，我发现了一册有Atiyah签名的第五卷《论文选集》。在前言中，Atiyah写道[13]：
从年开始，我的兴趣转向规范场理论，以及几何学和物理学的互动。一直以来，我对理论物理的兴趣不大，大多数的冲击都来自跟麦凯(GeorgeMackey)的深入讨论。年的动因来自两个源泉。一方面，Singer告诉我Yang-Mills方程，通过杨振宁的影响，它正在向数学圈渗透。当Singer在年初访问牛津时，他与Hitchin和我周密地考察了自对偶方程。我们发现，简单应用指标定理，就可以得出关于“瞬子”的参数个数的公式。另一个动因则来自彭罗斯(RogerPenrose)和他的小组。
张：在吴–杨字典中，你们为什么留下一个问号?
杨：因为那时数学家不曾探究过物理学家十分熟悉的重要概念：源，通常用J表示。在麦克斯韦对库仑定律和安培–麦克斯韦定律的联合表述中，这是一个关键的概念。用现代数学来写，就是：
其中?是Hodge对偶。在“无源”(J=0)的情形，则可以写成当(依据±号的选取，f分别称为自对偶与反自对偶的)时，此方程自动满足(因为f本身还满足另一组麦克斯韦方程
，这是法拉第定律和高斯定律的联合表述)。正是这个原因，许多数学家和物理学家开始研究自对偶与反自对偶的Yang-Mills方程。
张：这是一个极有趣的故事。自对偶规范场的研究后来引出了许多优美的数学，包括菲尔兹奖得主唐纳森的工作(下面还会提到)。
杨：是的，这故事正好提供了一个现代的例子，就是数学家可以从物理学衍生某些概念，这其实在几个世纪以前是很普遍的，不幸的是，现在很少见了。
张：有些数学概念对物理学也会变得重要，对此你有什么意见?我们会想起爱因斯坦曾被劝告去注意张量分析，这和你从赛蒙斯那里得到了帮助是否类似?
杨：爱因斯坦有博大精深和令人惊叹的洞察力，不宜将后人和他相提并论。至于数学渗入广义相对论与规范场理论的过程，是完全不同的。就前者而言，爱因斯坦没有黎曼几何就不可能写出广义相对论的方程；就后者而言，规范场论的方程早已写出来了，但后来是通过数学才了解其深意。
张：曾有许多学者早就指出，规范场论和纤维丛理论密切相关，为什么他们的论文不如你们的论文在数学界有影响力?
杨：这可能有许多原因。有些工作太形式化，以至于物理学家不能理解它究竟说了些什么;有些是由于物理内容没有被充分揭示，使得数学家觉得太微不足道。至于吴大峻和我在年所写的论文，关于Aharonov-Bohm实验和狄拉克磁单极的量子化条件的讨论，都有助于引起人们的
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