《经济学原理》典型习题解析第1期
今天是本栏目第一次与大家见面，在这档栏目里，主页菌将为大家挑选一些比较典型的经济学原理习题进行解析。今天，我们要分析的题目是这样的：
（进击的小明）“那一天，小明回想起了受分数支配的恐怖……和被囚禁在应试教育之笼中的屈辱……”
小明总共有40小时的时间来复习两门功课：语文和数学。对小明来说，他在语文上每提高1分，需要花20分钟；而在数学上每提高1分，则只需要花15分钟。对于任何一门课，如果他不花时间准备，都将得0分。当然，两门课的满分都是分。
（a）请画出小明复习的“预算约束曲线”，横轴为语文分数，纵轴为数学分数。
（b）如果小明只关心两门课的总分，请画出小明的无差异曲线。并说明，此时小明将在语文和数学的复习上各花多少时间？其得分状况又如何？
（c）如果小明的目标是让两门课中较高分的那门课得分更高，请画出小明的无差异曲线。并说明，此时小明将在语文和数学的复习上各花多少时间？其得分状况又如何？
（d）如果小明的目标是让两门课中较低分的那门课得分更高，请画出小明的无差异曲线。并说明，此时小明将在语文和数学的复习上各花多少时间？其得分状况又如何？
大家是不是觉得题目很逗B？如果答案是肯定的，那就说明，你应该没有在国发院选双学位，因为这就是一个引来很多吐槽的作业题……而且，它的变体还曾经被主页菌用作考试题（见下图，有图有真相），让一些同学心惊胆战……
好了，废话不说，让我们来看看这个题吧。这个题考察的主要是预算约束线和无差异曲线的画法。
我们知道，在消费者决策中，既定偏好的消费者需要在约束条件下，实现自己的效用最大化。在分析中，消费者的偏好状况经常被用无差异曲线来刻画；而约束条件则用预算约束线来刻画。需要注意的是，人们在显示中面临的预算约束可能是多样的，例如可能有金钱约束、时间约束，所以在分析问题时，可能会面临很多条约束线。
具体到本题，我们先来看第（1）问。在画预算约束线时，有一个小技巧，就是你可以先考虑极端情况：假如小明将所有的时间都花在复习语文上，可以拿多少分；都放在数学上，又可以拿多少分。这样，你就可以得到预算约束线的两个端点，将两个端点连起来，就可以得到一条斜线，这条斜线就是由时间约束带来的约束线，小明如果用尽了所有的复习时间，那么他可能得到的成绩组合一定在这条线上。这一点只要用一点小小的数学就能验证：如果将小明的语文和数学成绩分别记为x分和y分，那么为了让语文达到x分，小明就一共要付出x/3小时，而为了让数学达到y分，他就一共要付出y/4小时，两者相加不超过40小时，因此时间带来的预算约束线用方程表示就是x/3+y/4=40，在图上，它就是你刚才画出的那条斜线。
但是，大家要注意，小明在这里面临的约束可不只是这一个，他还面临两门课的分数上限这个约束。例如，语文最高才分，他即使把所有时间都用来对此进行复习，也不可能超过这个限度，对于数学也有同样的问题。所以，他还面临这两条直线的约束，用公式表示，就是x=和y=。
所以，综合起来，小明面临的约束线，就是由图中紫色实线段和两条虚线线段围成的一个梯形。
再来看第（2）问。这里，小明只在乎两门课的总成绩，翻译成经济学的语言，就是他的效用函数只由两门课的成绩之和决定，如果将效用定义为u，那么其效用函数就可以写成u=x+y。对应的效用函数怎么画呢？很简单，你只要将u分别取不同的数值，那么u=x+y就变成了一组组不同的线性方程，用初中学到的知识，就可以画出它们了。这里需要注意的是，在我们说要画无差异曲线时，往往指要画一组，而非一条，所以在解题时，你需要给出几条作为示意（当然，理论上有无数条）。同时，如果在正规的考试或者答题时，最好用一个小箭头标明。
和刚才的预算约束线放在一张图里，大约是这个样子的（其中粗体斜线表示一组无差异曲线）：
当你画出了无差异曲线和预算约束后，求解消费者的效用最大化问题就很简单了——你只要顺着消费者效用增加的方向（通常是向着右上方，但在一些情况，如存在厌恶品时，就不是这样），找到最远的那条无差异曲线和预算线相切（或相交）的那个点，那就是最优的选择点，它对应的那条无差异曲线就刻画了最大的效用。
具体到本题，容易知道，最优选择点是梯形右上角和某条无差异曲线的交点。容易求得，小明此时会花25小时复习数学，15小时复习语文。从而数学得分，语文得45分，总分。
如果你会解（1）、（2）两问，那么（3）、（4）两问也是依样画葫芦。你要注意的只不过是无差异曲线的画法。
第（3）问中，小明只在乎得分高的那门课，或者翻译成共识，就是u=max{x，y}。这样的无差异曲线怎么画呢？其实用最笨的方法就可以了。给定一个u，例如，u=60，那么y=60，而x是小于或等于60的任何一个值，它给小明带来的效用都是一样的，也就是说，（0，60）、（1，60）、（2，60）、……、（60，60）都会在同一条无差异曲线上。同样的，（60，1）、（60，2）、……、（60，60）也会在同一条无差异曲线上。知道了这点，就容易知道u=60所对应的那条无差异曲线应该是一条折线。同理，你可以得到u取其他值时的无差异曲线。画在图中，它是这样的：
采用和第（2）问中完全类似的推论，容易知道，在最优时小明会花25小时复习数学，15小时复习语文。从而数学得分，语文得45分，总分。或者花/3小时复习语文，20/3小时复习数学，从而语文得，数学得80/3分。
而对于第（4）问中的偏好，它所对应的效用函数为u=min{x，y}。值得一提的是，这个形式的效用函数是著名的Leontief效用函数，它代表了效用函数中的两种商品是可以完全互补的，哪个少上一点都不能用另一种补偿。对于这一效用函数刻画的无差异曲线的画法，也可以用和对第（4）问中一样的方法进行分析。容易知道，它也是一组折线，不同的是，折的方向不同。具体来说，它大体是这个样子的：
容易知道，在这种偏好状况下，可知小明会花/7小时复习数学，/7小时复习语文。从而两门课各得/7分。
总结一下，当我们考虑画预算约束和无差异曲线时，并用它来分析效用最大化问题时，需要注意：
（1）约束线可能不止一条，不要漏掉；
（2）如果能写出预算约束式的解析式，可以很好地帮助你画出它；
（3）无差异曲线可以通过固定不同的u，靠找出x和y的关系来描绘；
（4）注意画无差异曲线时需要画一组，并且标识效用变化方向；
（5）顺着消费者效用增加的方向，找到最远的那条无差异曲线和预算线相切（或相交）的那个点，那就是最优的选择点。
记住以上几条，那么相关的习题你就应该可以对付了！现在，你可以拿前面试卷中的那个题目来练一下手了！注意，这里你得到的预算约束线可能会曲里拐弯，而无差异曲线的形状也有些变化，总之，自己探索一下吧！
本号是张维迎教授《经济学原理》及《博弈与社会》两门课程的指定北京有哪些治疗白癜风的专科医院白癜风症状及治疗
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